与えられた3つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2}$ (2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2}$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2}$

(2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2}$

$x$ が 1 に近づくと、分子は 1 に近づき、分母は 0 に近づきます。

$(x-1)^2$ は常に正の値なので、$\frac{x}{(x-1)^2}$ は正の無限大に発散します。

よって、

$\lim_{x\to 1} \frac{x}{(x-1)^2} = \infty$

(2) $\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2}$

$x$ が -2 に近づくと、分子は -2 に近づき、分母は 0 に近づきます。

$(x+2)^2$ は常に正の値なので、$x$ が -2 に近いとき、分母は正の値です。

したがって、$\frac{x}{(x+2)^2}$ は負の無限大に発散します。

よって、

$\lim_{x\to -2} \frac{x}{(x+2)^2} = -\infty$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1}$

$x$ が 0 に近づくと、分子は $0-\sqrt{1+0} = -1$ に近づき、分母は $\sqrt{1+0}-1 = 0$ に近づきます。

分母を有理化します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^2}-1} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x^2}+1)}{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x^2}+1)}{1+x^2-1} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2}$

次に、分子の $x-\sqrt{1+x}$ を有理化します。

$x-\sqrt{1+x} = \frac{(x-\sqrt{1+x})(x+\sqrt{1+x})}{x+\sqrt{1+x}} = \frac{x^2-(1+x)}{x+\sqrt{1+x}} = \frac{x^2-x-1}{x+\sqrt{1+x}}$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{(x-\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2-x-1}{x+\sqrt{1+x}}(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(x+\sqrt{1+x})}$

$x$ が 0 に近づくと、$\frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(x+\sqrt{1+x})} \approx \frac{(-1)(1+1)}{x^2(0+1)} = \frac{-2}{x^2}$

$x$ が 0 に近づくと、これは負の無限大に発散します。

$\lim_{x\to 0} \frac{(x^2-x-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(x+\sqrt{1+x})} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-\infty$

(3) $-\infty$