与えられた2つの関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ (2) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right|$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$

(2) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right|$

2. 解き方の手順

(1)

$\log$ の性質を利用して関数を変形します。$\log |a/b| = \log |a| - \log |b|$ なので、

$y = \log |x-1| - \log |x+1|$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2 - 1}$

(2)

$y = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right|$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$

三角関数の公式 $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x}$

$\frac{dy}{dx} = \csc x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^2 - 1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \csc x$