関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いて微分します。

まず、$u = x^2 + 1$ と $v = x^2 - 1$ とおきます。

すると、$u' = 2x$ と $v' = 2x$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$= \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}$

$= \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$