$y = \cos^3 2x$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^3 2x$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \cos^3 2x = (\cos 2x)^3$ である。

まず、合成関数の微分を行う。

外側の関数を $u^3$、内側の関数を $u = \cos 2x$ とおく。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(\cos 2x)^2 = 3 \cos^2 2x$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。

$u = \cos 2x$ であり、これも合成関数である。

$v = 2x$ とおくと、$u = \cos v$ である。

$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{du}{dv} = -\sin v = -\sin 2x$

$\frac{dv}{dx} = 2$

よって、$\frac{du}{dx} = (-\sin 2x) \cdot 2 = -2 \sin 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (3 \cos^2 2x) \cdot (-2 \sin 2x)$

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$