関数 $y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$x$で微分することを考えます。

$y = \sqrt{1 + \sin{x}}$ を $y = (1 + \sin{x})^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 + \sin{x})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \sin{x})$

$\frac{d}{dx}(1 + \sin{x}) = \cos{x}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 + \sin{x})^{-\frac{1}{2}} \cdot \cos{x} = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{1 + \sin{x}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{1 + \sin{x}}}$