関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（連鎖律）と商の微分法を利用します。

まず、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ と置くと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

このとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ が成り立ちます。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 6x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 6x)$

$u$ を元の式に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$