関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているため、商の微分公式を用いる。商の微分公式は、

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\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

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である。

この問題では、$u = x-1$、$v = x^3+1$ とすると、

$u' = 1$、$v' = 3x^2$ となる。

これらを商の微分公式に代入すると、

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\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x^3+1) - (x-1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}

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となる。

これを整理すると、

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\frac{dy}{dx} = \frac{x^3+1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3+1)^2}

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\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}

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となる。

さらに、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$ であるから、

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(x+1)^2 (x^2 - x + 1)^2

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分子の因数分解を試みる。$x=-1$を代入すると、$-2(-1) + 3(1) + 1 = 2+3+1 = 6 \neq 0$ となるため、$x+1$を因数に持たない。

3. 最終的な答え

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\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}

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