関数 $y = \frac{1}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $y = (x^3 + 1)^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を適用します。

チェーンルールは、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

ここで、$u = x^3 + 1$ と置くと、$y = u^{-1}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -1u^{-2} = -u^{-2}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -u^{-2} \cdot 3x^2 = -(x^3 + 1)^{-2} \cdot 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}$