関数 $y = x \cos 2x$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos 2x$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

この問題では、$u = x$ および $v = \cos 2x$ とします。

まず、$u = x$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v = \cos 2x$ の微分を計算します。

連鎖律を用いると、$v' = \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x$

積の微分公式にこれらを代入します。

$y' = (x \cos 2x)' = x' \cos 2x + x (\cos 2x)' = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2\sin 2x)$

これを整理します。

$y' = \cos 2x - 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\cos 2x - 2x \sin 2x$