関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分し、$y'$を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分し、$y'$を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は分数の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

まず、$u(x) = 2x^2 - x$ と $v(x) = x^3 + 1$ とおきます。

次に、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数をそれぞれ計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - x) = 4x - 1$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2$

商の微分公式にこれらの結果を代入すると、

$y' = \frac{(4x - 1)(x^3 + 1) - (2x^2 - x)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - (6x^4 - 3x^3)}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - 6x^4 + 3x^3}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}$