関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 - 10x$ の $-3 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 - 10x$ の $-3 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。

$f'(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 - 7(-1) - 10 = -1 + 4 + 7 - 10 = 0$ より、$x = -1$ は $f'(x) = 0$ の解の一つです。

したがって、$f'(x)$ は $(x + 1)$ で割り切れます。

$f'(x) = (x + 1)(x^2 + 3x - 10) = (x + 1)(x + 5)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -5, -1, 2$ のときです。

しかし、$-3 \leq x \leq 4$ の範囲にあるのは $x = -1, 2$ のみです。

次に、区間の端点と極値における $f(x)$ の値を計算します。

$x = -3$ のとき、

$f(-3) = \frac{1}{4}(-3)^4 + \frac{4}{3}(-3)^3 - \frac{7}{2}(-3)^2 - 10(-3) = \frac{81}{4} - 36 - \frac{63}{2} + 30 = \frac{81}{4} - 6 - \frac{126}{4} = \frac{-45}{4} - 6 = \frac{-45 - 24}{4} = -\frac{69}{4} = -17.25$

$x = -1$ のとき、

$f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{4}{3}(-1)^3 - \frac{7}{2}(-1)^2 - 10(-1) = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{7}{2} + 10 = \frac{3 - 16 - 42 + 120}{12} = \frac{65}{12} \approx 5.42$

$x = 2$ のとき、

$f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 + \frac{4}{3}(2)^3 - \frac{7}{2}(2)^2 - 10(2) = 4 + \frac{32}{3} - 14 - 20 = -30 + \frac{32}{3} = \frac{-90 + 32}{3} = -\frac{58}{3} \approx -19.33$

$x = 4$ のとき、

$f(4) = \frac{1}{4}(4)^4 + \frac{4}{3}(4)^3 - \frac{7}{2}(4)^2 - 10(4) = 64 + \frac{256}{3} - 56 - 40 = -32 + \frac{256}{3} = \frac{-96 + 256}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33$

したがって、最大値は $\frac{160}{3}$ ($x = 4$ のとき) であり、最小値は $-\frac{58}{3}$ ($x = 2$ のとき) です。

3. 最終的な答え

最大値: 160/3

最小値: -58/3