$\log_7 \frac{1}{25}$, $\log_7 1$, $0.1$ の3つの値を小さい順に並べ替える問題です。

1. 問題の内容

$\log_7 \frac{1}{25}$, $\log_7 1$, $0.1$ の3つの値を小さい順に並べ替える問題です。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、それぞれの値を比較します。

* $\log_7 1$ について：

$\log_a 1 = 0$ なので、$\log_7 1 = 0$です。

* $\log_7 \frac{1}{25}$ について：

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ です。

$7 > 1$ なので、底が1より大きい対数関数は単調増加です。

$\frac{1}{25} < 1$ なので、$\log_7 \frac{1}{25} < \log_7 1 = 0$ となります。

また、$\log_7 \frac{1}{25}$ は負の値をとることがわかります。

* $0.1$ について：

$0.1 > 0$ です。

したがって、$0.1 > \log_7 1 = 0$ となります。

次に、$\log_7 \frac{1}{25}$ と $0.1$ の大小を比較します。

$7^{0.1}$ が $\frac{1}{25}$ より大きいか小さいかを調べます。

$7^{0.1} = 7^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{7}$です。

$\sqrt[10]{7} > 1$ なので、 $(\sqrt[10]{7})^{10} > 1^{10}$ となり、$7 > 1$ です。

$\log_7 \frac{1}{25} = \log_7 5^{-2} = -2 \log_7 5$ です。

$7^1 = 7 > 5$ なので、$\log_7 5 < 1$ です。

したがって、$0 > -2\log_7 5 > -2$ です。

$\log_7 \frac{1}{25}$ は $-2$ より大きい負の値です。

$0.1$ を対数で表現すると、$\log_7 7^{0.1}$ となります。

$7^{0.1}$ と $\frac{1}{25}=0.04$ の大小関係を比較します。

$7^{0.1}$ は、$7$ の $1/10$ 乗なので、$1$ より少し大きいです。

よって、$7^{0.1} > \frac{1}{25}$ なので、$0.1 > \log_7 \frac{1}{25}$ です。

まとめると、

$\log_7 \frac{1}{25} < 0 < 0.1$ です。

つまり、$\log_7 \frac{1}{25} < \log_7 1 < 0.1$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_7 \frac{1}{25}$, $\log_7 1$, $0.1$