(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ を求める。 (2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ を求める。

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 分母分子に $\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}$ を掛ける。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1+x^2} \to 1$、$\sqrt{1-x^2} \to 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ に $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ を掛ける。

$\sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \sqrt{2x} \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ であるから、$\sqrt{1+\frac{1}{x}} \to 1$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{1+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$