次の極限値を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{x^2}$

## 問題2の解答

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{x^2}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 ($\frac{0}{0}$の形) なので、ロピタルの定理を適用します。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^x - \cos x - x) = e^x + \sin x - 1$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

新しい極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x - 1}{2x}$

これもまだ不定形 ($\frac{0}{0}$の形) なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^x + \sin x - 1) = e^x + \cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$

新しい極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos x}{2}$

ここで、$x \to 0$ のときの極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos x}{2} = \frac{e^0 + \cos 0}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{x^2} = 1$

## 問題3(1)の解答

1. 問題の内容

$\frac{8x^2-5x+1}{x(2x-1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{2x-1} + \frac{c}{(2x-1)^2}$ を満たす実数 $a, b, c$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた等式の両辺に $x(2x-1)^2$ をかけます。

$8x^2 - 5x + 1 = a(2x-1)^2 + bx(2x-1) + cx$

$8x^2 - 5x + 1 = a(4x^2 - 4x + 1) + b(2x^2 - x) + cx$

$8x^2 - 5x + 1 = 4ax^2 - 4ax + a + 2bx^2 - bx + cx$

$x^2, x,$ 定数項について係数を比較します。

$x^2: 8 = 4a + 2b$

$x: -5 = -4a - b + c$

定数項: $1 = a$

$a=1$ を $8 = 4a + 2b$ に代入して $b$ を求めます。

$8 = 4(1) + 2b$

$4 = 2b$

$b = 2$

$a=1, b=2$ を $-5 = -4a - b + c$ に代入して $c$ を求めます。

$-5 = -4(1) - 2 + c$

$-5 = -6 + c$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1, b = 2, c = 1$

## 問題3(2)の解答

1. 問題の内容

積分 $\int_{1}^{2} \frac{8x^2-5x+1}{x(2x-1)^2} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題3(1)の結果を用いると、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{1}^{2} \frac{8x^2-5x+1}{x(2x-1)^2} dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{2x-1} + \frac{1}{(2x-1)^2} \right) dx$

各項を積分します。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

$\int \frac{2}{2x-1} dx = \ln|2x-1|$

$\int \frac{1}{(2x-1)^2} dx = -\frac{1}{2(2x-1)}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{2x-1} + \frac{1}{(2x-1)^2} \right) dx = \left[ \ln|x| + \ln|2x-1| - \frac{1}{2(2x-1)} \right]_{1}^{2}$

積分範囲を代入します。

$\left[ \ln|2| + \ln|2(2)-1| - \frac{1}{2(2(2)-1)} \right] - \left[ \ln|1| + \ln|2(1)-1| - \frac{1}{2(2(1)-1)} \right]$

$= \left[ \ln 2 + \ln 3 - \frac{1}{6} \right] - \left[ 0 + \ln 1 - \frac{1}{2} \right]$

$= \ln 2 + \ln 3 - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

$= \ln 6 + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{2} \frac{8x^2-5x+1}{x(2x-1)^2} dx = \ln 6 + \frac{1}{3}$