$3.75^n$ の整数部分が3桁となるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁となるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$3.75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$ であるから、

$\log_{10} 3.75 = \log_{10} \frac{15}{4} = \log_{10} 15 - \log_{10} 4 = \log_{10} (3 \times 5) - \log_{10} 2^2 = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2\log_{10} 2$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ より、

$\log_{10} 3.75 = \log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2 - 2\log_{10} 2 = \log_{10} 3 - 3\log_{10} 2 + 1$

与えられた値を代入すると、

$\log_{10} 3.75 = 0.4771 - 3 \times 0.3010 + 1 = 0.4771 - 0.9030 + 1 = 0.5741$

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるとき、$100 \le 3.75^n < 1000$ が成り立つ。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} 3.75^n < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 3.75 < 3$

$2 \le n \times 0.5741 < 3$

各辺を $0.5741$ で割ると、

$\frac{2}{0.5741} \le n < \frac{3}{0.5741}$

$3.483 \le n < 5.225$

したがって、$n$ は整数なので、$n=4,5$ となる。

よって、整数 $n$ の個数は $2$ 個である。

3. 最終的な答え

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