$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるということは、$4.32^n$ が $1000$ 以上 $10000$ 未満であることを意味する。

したがって、$1000 \le 4.32^n < 10000$ が成り立つ。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 1000 \le \log_{10} (4.32^n) < \log_{10} 10000$

$3 \le n \log_{10} 4.32 < 4$

ここで、$\log_{10} 4.32$ を計算する必要がある。

$\log_{10} 4.32 = \log_{10} (432/100) = \log_{10} 432 - \log_{10} 100 = \log_{10} (2^4 \cdot 3^3) - 2 = \log_{10} 2^4 + \log_{10} 3^3 - 2 = 4\log_{10} 2 + 3\log_{10} 3 - 2$

与えられた値を使用すると、

$4\log_{10} 2 + 3\log_{10} 3 - 2 = 4(0.3010) + 3(0.4771) - 2 = 1.2040 + 1.4313 - 2 = 2.6353 - 2 = 0.6353$

したがって、$\log_{10} 4.32 = 0.6353$ である。

元の不等式に戻ると、

$3 \le n (0.6353) < 4$

この不等式を $n$ について解くと、

$\frac{3}{0.6353} \le n < \frac{4}{0.6353}$

$4.722... \le n < 6.296...$

$n$ は整数であるから、$5 \le n \le 6$ である。

$n = 5, 6$ の2つの整数が条件を満たす。

したがって、$n$ の個数は $6 - 5 + 1 = 2$ である。

3. 最終的な答え

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