与えられた行列が正則かどうかを簡約化を用いて判定し、正則であれば逆行列を求める問題です。 (1) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ (2) $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列が正則かどうかを簡約化を用いて判定し、正則であれば逆行列を求める問題です。

(1) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

(2) $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の正則性を判定し、正則なら逆行列を求める。

正則であるかどうかの判定は、行列式を計算することで判断できます。

$det(A) = 0 \cdot (-3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - 0 \cdot (-2 \cdot 3 - 0 \cdot 1) + 1 \cdot (-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-3)) = 0 - 0 + 1 \cdot (-2 - 0) = -2$

$det(A) = -2 \neq 0$ なので、行列 $A$ は正則です。

逆行列を求めるために、$A$ に単位行列を付け加えた拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 & -10 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 & -1/2 & -3/2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & -3/2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $B$ の正則性を判定し、正則なら逆行列を求める。

正則であるかどうかの判定は、行列式を計算することで判断できます。

$det(B) = 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

$= 3(0(-1+4) - 1(-1-6) + 3(-2-3)) - 2(1(-1+4) - 1(4-2) + 3(8-1)) - 1(1(-2-3) - 0(8-1) + 1(-12-1))$

$= 3(0+7-15) - 2(3-2+21) - 1(-5-13)$

$= 3(-8) - 2(22) - 1(-18)$

$= -24 - 44 + 18 = -50 \neq 0$

$det(B) = -50 \neq 0$ なので、行列 $B$ は正則です。

逆行列を求めるために、$B$ に単位行列を付け加えた拡大行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

行基本変形の結果、

$B^{-1} = \begin{bmatrix} -3/25 & -7/50 & -2/25 & 1/10 \\ 2/25 & 13/50 & -3/25 & -1/10 \\ 11/25 & 1/50 & 7/25 & 1/10 \\ -1/25 & -11/50 & 6/25 & 1/10 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A$ は正則であり、$A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & -3/2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $B$ は正則であり、$B^{-1} = \begin{bmatrix} -3/25 & -7/50 & -2/25 & 1/10 \\ 2/25 & 13/50 & -3/25 & -1/10 \\ 11/25 & 1/50 & 7/25 & 1/10 \\ -1/25 & -11/50 & 6/25 & 1/10 \end{bmatrix}$