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3x3行列の行列式を計算します。 与えられた行列は $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ です。

代数学行列式行列余因子行列
2025/7/30
## 問題3の(1)～(3)と問題4について解答します。
### 問題3 (1)

1. 問題の内容

3x3行列の行列式を計算します。
与えられた行列は
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 4 \\
-1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

行列式を計算します。
$\begin{aligned}
\det \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 4 \\
-1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
&= 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\
&= 2 \cdot (3 \cdot 2 - 4 \cdot 0) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) \\
&= 2 \cdot 6 - 1 \cdot (2 + 4) + 1 \cdot (0 + 3) \\
&= 12 - 6 + 3 \\
&= 9
\end{aligned}$

3. 最終的な答え

9
### 問題3 (2)

1. 問題の内容

4x4行列の行列式を計算します。
与えられた行列は
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
5 & 0 & 3 & 1 \\
2 & 1 & -2 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 4
\end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

1行目に関して余因子展開します。
$\begin{aligned}
\det \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
5 & 0 & 3 & 1 \\
2 & 1 & -2 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 4
\end{pmatrix}
&= 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}
- 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}
+ 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}
- 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \\
&= 1 \cdot (0(-8-0) - 3(4-0) + 1(0-2)) - 2 \cdot (5(-8-0) - 3(8-0) + 1(0+6)) + 2 \cdot (5(4+0) - 0(8-0) + 1(-2-3)) - 1 \cdot (5(0-2) - 0(0+6) + 3(-2-3)) \\
&= 1 \cdot (0 - 12 - 2) - 2 \cdot (-40 - 24 + 6) + 2 \cdot (20 - 0 - 5) - 1 \cdot (-10 - 0 - 15) \\
&= -14 - 2(-58) + 2(15) - (-25) \\
&= -14 + 116 + 30 + 25 \\
&= 157
\end{aligned}$

3. 最終的な答え

157
### 問題3 (3)

1. 問題の内容

3x3行列の行列式を計算します。
与えられた行列は
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
x & 3 & 1 & 0 \\
2 & -4x & 3 & 3 \\
2 & -1 & x & 1
\end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

1行目で余因子展開します。
$\det \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
x & 3 & 1 & 0 \\
2 & -4x & 3 & 3 \\
2 & -1 & x & 1
\end{pmatrix} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4x & 3 & 3 \\ -1 & x & 1 \end{pmatrix} - 0 + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} x & 3 & 0 \\ 2 & -4x & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} -0$
det⁡(310−4x33−1x1)=3(3−3x)−1(−4x+3)+0=9−9x+4x−3=6−5x\det \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4x & 3 & 3 \\ -1 & x & 1 \end{pmatrix} = 3(3-3x) - 1(-4x+3) + 0 = 9 - 9x + 4x - 3 = 6 - 5x
det⁡(x302−4x32−11)=x(−4x+3)−3(2−6)+0=−4x2+3x−3(−4)=−4x2+3x+12\det \begin{pmatrix} x & 3 & 0 \\ 2 & -4x & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = x(-4x+3) - 3(2-6) + 0 = -4x^2 + 3x - 3(-4) = -4x^2 + 3x + 12
1⋅(6−5x)+2⋅(−4x2+3x+12)=6−5x−8x2+6x+24=−8x2+x+301 \cdot (6-5x) + 2 \cdot (-4x^2 + 3x + 12) = 6 - 5x - 8x^2 + 6x + 24 = -8x^2 + x + 30

3. 最終的な答え

−8x2+x+30-8x^2 + x + 30
### 問題4 (1)

1. 問題の内容

行列Aの行列式を計算します。
与えられた行列は
A = \begin{pmatrix}
1 & x+2 & 1 \\
0 & 2 & x+1 \\
-x & 0 & 2
\end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

行列式を計算します。
$\begin{aligned}
\det(A) &= 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & x+1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - (x+2) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & x+1 \\ -x & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -x & 0 \end{pmatrix} \\
&= 1 \cdot (2 \cdot 2 - (x+1) \cdot 0) - (x+2) \cdot (0 \cdot 2 - (x+1) \cdot (-x)) + 1 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot (-x)) \\
&= 1 \cdot 4 - (x+2) \cdot (x(x+1)) + 1 \cdot (2x) \\
&= 4 - (x+2)(x^2+x) + 2x \\
&= 4 - (x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x) + 2x \\
&= 4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 2x \\
&= 4 - x^3 - 3x^2
\end{aligned}$

3. 最終的な答え

4−x3−3x24 - x^3 - 3x^2
### 問題4 (2)

1. 問題の内容

行列Aの余因子行列を計算します。
与えられた行列は
A = \begin{pmatrix}
1 & x+2 & 1 \\
0 & 2 & x+1 \\
-x & 0 & 2
\end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

余因子行列は、各要素の余因子を計算し、転置したものです。
$\begin{aligned}
C_{11} &= \det \begin{pmatrix} 2 & x+1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4 \\
C_{12} &= -\det \begin{pmatrix} 0 & x+1 \\ -x & 2 \end{pmatrix} = -x(x+1) = -x^2 - x \\
C_{13} &= \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -x & 0 \end{pmatrix} = 2x \\
C_{21} &= -\det \begin{pmatrix} x+2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2(x+2) = -2x - 4 \\
C_{22} &= \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -x & 2 \end{pmatrix} = 2 + x \\
C_{23} &= -\det \begin{pmatrix} 1 & x+2 \\ -x & 0 \end{pmatrix} = -x(x+2) = x^2 \\
C_{31} &= \det \begin{pmatrix} x+2 & 1 \\ 2 & x+1 \end{pmatrix} = (x+2)(x+1) - 2 = x^2 + 3x + 2 - 2 = x^2 + 3x \\
C_{32} &= -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & x+1 \end{pmatrix} = -(x+1) = -x - 1 \\
C_{33} &= \det \begin{pmatrix} 1 & x+2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2
\end{aligned}$
余因子行列は
$\begin{pmatrix}
4 & -x^2-x & 2x \\
-2x-4 & 2+x & x^2 \\
x^2+3x & -x-1 & 2
\end{pmatrix}$
これの転置行列が求める余因子行列です。
$\begin{pmatrix}
4 & -2x-4 & x^2+3x \\
-x^2-x & 2+x & -x-1 \\
2x & x^2 & 2
\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix}
4 & -2x-4 & x^2+3x \\
-x^2-x & 2+x & -x-1 \\
2x & x^2 & 2
\end{pmatrix}$

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