関数 $f(x) = 3x^2 + 5x + 2$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $f'(7)$ の値を求めよ。

解析学微分導関数多項式
2025/4/5

1. 問題の内容

関数 f(x)=3x2+5x+2f(x) = 3x^2 + 5x + 2 を微分して導関数 f(x)f'(x) を求め、さらに f(7)f'(7) の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、f(x)f(x) を微分して f(x)f'(x) を求めます。
多項式の微分は、各項を個別に微分し、それらを足し合わせることで行います。
xnx^n の微分は nxn1nx^{n-1} となります。また、定数の微分は0です。
f(x)=3x2+5x+2f(x) = 3x^2 + 5x + 2 を微分すると、
3x23x^2 の微分は 32x21=6x3 \cdot 2x^{2-1} = 6x
5x5x の微分は 51x11=55 \cdot 1x^{1-1} = 5
22 の微分は 00
したがって、f(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5
次に、f(7)f'(7) を計算します。f(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5x=7x = 7 を代入します。
f(7)=6(7)+5=42+5=47f'(7) = 6(7) + 5 = 42 + 5 = 47

3. 最終的な答え

f(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5
f(7)=47f'(7) = 47

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