3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおくと、与えられた方程式は $f(x) = a$ と書き換えられます。

この3次方程式が異なる3つの実数解を持つためには、$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=a$ が3点で交われば良いです。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$

$f'(x)=0$ となるのは $x=2, -1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

|------|------|----|-----|----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x=-1$ のとき $f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$ （極大値）

$x=2$ のとき $f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$ （極小値）

したがって、$y=f(x)$ のグラフが極大値と極小値を持つとき、$f(x)=a$ が異なる3つの実数解を持つためには、

極小値 $< a <$ 極大値

である必要があります。

すなわち、$-20 < a < 7$ です。

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$