1から7までの異なる4つの整数を選んで4桁の整数を作る問題です。全部で何個の整数ができるか、そのうち奇数は何個か、3500より大きい数は何個か、また、各桁の数字が左から小さい順に並んでいる数は何個かを求める必要があります。

1. 問題の内容

1から7までの異なる4つの整数を選んで4桁の整数を作る問題です。全部で何個の整数ができるか、そのうち奇数は何個か、3500より大きい数は何個か、また、各桁の数字が左から小さい順に並んでいる数は何個かを求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、1から7までの異なる4つの数字を選んで4桁の整数を作る場合の数を計算します。これは順列の問題なので、7つの数字から4つを選んで並べる順列 $_7 P_4$ を計算します。

$_7 P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

よって、全部で840個の整数ができます。

次に、奇数の数を計算します。4桁の整数が奇数であるためには、一の位が奇数でなければなりません。1から7までの奇数は1, 3, 5, 7の4つです。一の位に奇数を選ぶ方法は4通りあります。残りの3桁は、残りの6つの数字から3つを選んで並べる順列 $_6 P_3$ です。

$_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

したがって、奇数の数は $4 \times 120 = 480$ 個です。

次に、3500より大きい数の数を計算します。千の位が3の場合、百の位は5, 6, 7のいずれかです。千の位が4, 5, 6, 7の場合を考えます。

* 千の位が3の場合：百の位は5, 6, 7のいずれかです。

* 百の位が5の場合：十の位と一の位は、残りの5つの数字から2つを選んで並べる順列 $_5 P_2 = 5 \times 4 = 20$ 通り。

* 百の位が6の場合：十の位と一の位は、残りの5つの数字から2つを選んで並べる順列 $_5 P_2 = 5 \times 4 = 20$ 通り。

* 百の位が7の場合：十の位と一の位は、残りの5つの数字から2つを選んで並べる順列 $_5 P_2 = 5 \times 4 = 20$ 通り。

千の位が3の場合の合計: $20 + 20 + 20 = 60$ 通り。

* 千の位が4の場合：百、十、一の位は、残りの6つの数字から3つを選んで並べる順列 $_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

* 千の位が5の場合：百、十、一の位は、残りの6つの数字から3つを選んで並べる順列 $_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

* 千の位が6の場合：百、十、一の位は、残りの6つの数字から3つを選んで並べる順列 $_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

* 千の位が7の場合：百、十、一の位は、残りの6つの数字から3つを選んで並べる順列 $_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

したがって、3500より大きい数の合計は $60 + 120 + 120 + 120 + 120 = 540$ 個です。

最後に、各位の数字が左から小さい順に並んでいる数の数を計算します。これは、1から7までの数字から4つを選ぶ組み合わせの問題です。組み合わせ $_7 C_4$ を計算します。

$_7 C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、各位の数字が左から小さい順に並んでいる数は35個です。

3. 最終的な答え

アイウ: 840

エオカ: 480

キクケ: 540

コサ: 35