2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ （$-2 \le x \le 1$）の最大値が7のとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ （$-2 \le x \le 1$）の最大値が7のとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x+1)^2 - 1 + 2a$

このグラフは下に凸な放物線で、軸は $x=-1$ です。定義域は $-2 \le x \le 1$ なので、軸 $x=-1$ は定義域に含まれています。

最大値は、定義域の端点 $x=-2$ または $x=1$ のいずれかで取ります。

$x=-2$ のとき、

$y = (-2)^2 + 2(-2) + 2a = 4 - 4 + 2a = 2a$

$x=1$ のとき、

$y = (1)^2 + 2(1) + 2a = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$

$3 + 2a > 2a$ なので、最大値は $x=1$ のときにとり、 $3 + 2a = 7$ となります。

これを解いて、$2a = 4$, よって $a = 2$ です。

$a=2$ を元の関数に代入すると、$y = x^2 + 2x + 4$ となります。

平方完成すると、$y = (x+1)^2 + 3$

最小値は軸 $x=-1$ で取ります。

$x=-1$ のとき、$y = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

3. 最終的な答え

$a=2$

最小値は3