$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、等比数列の和の公式を利用して解きます。

$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ は、初項 $a = 5^{1-1} = 5^0 = 1$, 公比 $r = 5$, 項数 $n$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

この公式に、$a=1$, $r=5$ を代入すると、

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5-1}$

$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{4}$