与えられた二次式を因数分解する問題です。具体的には以下の8つの問題を解きます。 (1) $3x^2 + 7x + 4 =$ (2) $3x^2 - 7x + 4 =$ (3) $3x^2 + 11x - 4 =$ (4) $3x^2 - 11x - 4 =$ (5) $3x^2 + 8x + 4 = (x+2)(3x \quad)$ (6) $3x^2 - 8x + 4 =$ (7) $3x^2 - 4x - 4 =$ (8) $3x^2 + 4x - 4 =$

1. 問題の内容

与えられた二次式を因数分解する問題です。具体的には以下の8つの問題を解きます。

(1) $3x^2 + 7x + 4 =$

(2) $3x^2 - 7x + 4 =$

(3) $3x^2 + 11x - 4 =$

(4) $3x^2 - 11x - 4 =$

(5) $3x^2 + 8x + 4 = (x+2)(3x \quad)$

(6) $3x^2 - 8x + 4 =$

(7) $3x^2 - 4x - 4 =$

(8) $3x^2 + 4x - 4 =$

2. 解き方の手順

二次式 $ax^2 + bx + c$ を因数分解するには、積が $ac$、和が $b$ になる2つの数を見つけます。見つけた2つの数を $p$ と $q$ とすると、$ax^2 + bx + c = ax^2 + px + qx + c$ と変形できます。その後、共通因数でくくり出し、因数分解を完了します。

(1) $3x^2 + 7x + 4$：

積が $3 \times 4 = 12$、和が $7$ になる2つの数は $3$ と $4$ です。

$3x^2 + 3x + 4x + 4 = 3x(x+1) + 4(x+1) = (3x+4)(x+1)$

(2) $3x^2 - 7x + 4$：

積が $3 \times 4 = 12$、和が $-7$ になる2つの数は $-3$ と $-4$ です。

$3x^2 - 3x - 4x + 4 = 3x(x-1) - 4(x-1) = (3x-4)(x-1)$

(3) $3x^2 + 11x - 4$：

積が $3 \times (-4) = -12$、和が $11$ になる2つの数は $12$ と $-1$ です。

$3x^2 + 12x - x - 4 = 3x(x+4) - 1(x+4) = (3x-1)(x+4)$

(4) $3x^2 - 11x - 4$：

積が $3 \times (-4) = -12$、和が $-11$ になる2つの数は $-12$ と $1$ です。

$3x^2 - 12x + x - 4 = 3x(x-4) + 1(x-4) = (3x+1)(x-4)$

(5) $3x^2 + 8x + 4$：

$3x^2 + 8x + 4 = (x+2)(3x + \quad)$ を満たす数を求めます。

$(x+2)(3x + a) = 3x^2 + ax + 6x + 2a = 3x^2 + (a+6)x + 2a$

係数を比較すると、$a+6 = 8$ および $2a = 4$ より、$a=2$ がわかります。

したがって、$3x^2 + 8x + 4 = (x+2)(3x+2)$

(6) $3x^2 - 8x + 4$：

積が $3 \times 4 = 12$、和が $-8$ になる2つの数は $-2$ と $-6$ です。

$3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x-2) - 2(x-2) = (3x-2)(x-2)$

(7) $3x^2 - 4x - 4$：

積が $3 \times (-4) = -12$、和が $-4$ になる2つの数は $-6$ と $2$ です。

$3x^2 - 6x + 2x - 4 = 3x(x-2) + 2(x-2) = (3x+2)(x-2)$

(8) $3x^2 + 4x - 4$：

積が $3 \times (-4) = -12$、和が $4$ になる2つの数は $6$ と $-2$ です。

$3x^2 + 6x - 2x - 4 = 3x(x+2) - 2(x+2) = (3x-2)(x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2 + 7x + 4 = (3x+4)(x+1)$

(2) $3x^2 - 7x + 4 = (3x-4)(x-1)$

(3) $3x^2 + 11x - 4 = (3x-1)(x+4)$

(4) $3x^2 - 11x - 4 = (3x+1)(x-4)$

(5) $3x^2 + 8x + 4 = (x+2)(3x+2)$

(6) $3x^2 - 8x + 4 = (3x-2)(x-2)$

(7) $3x^2 - 4x - 4 = (3x+2)(x-2)$

(8) $3x^2 + 4x - 4 = (3x-2)(x+2)$