(1) $(2\sqrt{3}x + 2y + 1)(2\sqrt{3}x - 2y - 1)$ を計算する。 (2) $xy^2 + y + z - xz^2$ を因数分解する。 (3) $x^2 - x - y^2 + y$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(2\sqrt{3}x + 2y + 1)(2\sqrt{3}x - 2y - 1)$ を計算する。

(2) $xy^2 + y + z - xz^2$ を因数分解する。

(3) $x^2 - x - y^2 + y$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用する。ここで、 $a = 2\sqrt{3}x$ 、 $b = 2y + 1$ と考える。

$(2\sqrt{3}x + 2y + 1)(2\sqrt{3}x - 2y - 1) = (2\sqrt{3}x)^2 - (2y + 1)^2$

$= (4 \cdot 3 x^2) - (4y^2 + 4y + 1)$

$= 12x^2 - 4y^2 - 4y - 1$

(2) この式を $y$ について整理する。

$xy^2 + y + z - xz^2 = xy^2 + y + (z - xz^2)$

$= xy^2 + y + z(1 - xz) = y(xy + 1) + z(1 - xz)$

$z$について整理すると

$z - xz^2 + xy^2 + y = z(1 - xz) + y(xy + 1)$

$x$について整理すると

$xy^2 - xz^2 + y + z = x(y^2 - z^2) + (y + z) = x(y+z)(y-z) + (y+z) = (y+z)(x(y-z) + 1) = (y+z)(xy - xz + 1)$

(3) $x^2 - x - y^2 + y$ を因数分解する。まず、 $x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめる。

$x^2 - x - y^2 + y = (x^2 - y^2) - (x - y)$

$= (x + y)(x - y) - (x - y)$

$= (x - y)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $12x^2 - 4y^2 - 4y - 1$

(2) $(y+z)(xy - xz + 1)$

(3) $(x - y)(x + y - 1)$