方程式 $(x-4)(24-x) \times 2 = 120$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $(x-4)(24-x) \times 2 = 120$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺を2で割ります。

$(x-4)(24-x) = 60$

次に、左辺を展開します。

$24x - x^2 - 96 + 4x = 60$

整理して二次方程式にします。

$-x^2 + 28x - 96 = 60$

$-x^2 + 28x - 156 = 0$

両辺に-1をかけます。

$x^2 - 28x + 156 = 0$

二次方程式を解くために、因数分解を試みます。156を掛け算で表現できる整数の組み合わせで、足し算で28になる組み合わせを探します。

$156 = 6 \times 26$で、$6 + 26 = 32$となり、$28$にはなりません。

$156 = 12 \times 13$で、$12+13 = 25$となり、$28$にはなりません。

$156 = 2 \times 78$で、$2+78=80$となり、$28$にはなりません。

$156 = 3 \times 52$で、$3+52=55$となり、$28$にはなりません。

より系統的に考えるために、$156=a \times b$で$a+b=28$となると仮定します。この仮定に基づいて、因数分解で解くことを試みます。

$x^2 - 28x + 156 = (x-a)(x-b) = 0$

$a+b = 28$

$ab = 156$

$b = 28-a$

$a(28-a) = 156$

$28a - a^2 = 156$

$a^2 - 28a + 156 = 0$

解の公式を使って、$x$を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a=1$, $b=-28$, $c=156$なので、

$x = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \times 1 \times 156}}{2 \times 1}$

$x = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 624}}{2}$

$x = \frac{28 \pm \sqrt{160}}{2}$

$x = \frac{28 \pm \sqrt{16 \times 10}}{2}$

$x = \frac{28 \pm 4\sqrt{10}}{2}$

$x = 14 \pm 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$x = 14 + 2\sqrt{10}$ または $x = 14 - 2\sqrt{10}$