実数 $a$ に対して、2つの放物線 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 2$ が異なる2点で交わるとき、 (1) $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2つの放物線で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。 (3) $S$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求めよ。
2025/7/31
1. 問題の内容
実数 に対して、2つの放物線 と が異なる2点で交わるとき、
(1) の値の範囲を求めよ。
(2) 2つの放物線で囲まれた図形の面積 を を用いて表せ。
(3) の最大値と、そのときの の値を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 2つの放物線の交点を求める。 を解く。
この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 である。
より、
(2) 交点の 座標を とする ()。解と係数の関係より、。
(3) .
なので、.
は で最大値 をとる。
なので、 が最大値をとるとき、 も最大値をとる。
のとき、 を満たす。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3) の最大値は で、そのときの の値は