実数 $a$ に対して、2つの放物線 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 2$ が異なる2点で交わるとき、 (1) $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2つの放物線で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。 (3) $S$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求めよ。

代数学二次関数放物線積分面積判別式
2025/7/31

1. 問題の内容

実数 aa に対して、2つの放物線 y=x2+1y = x^2 + 1y=x2+2axa2+a+2y = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 2 が異なる2点で交わるとき、
(1) aa の値の範囲を求めよ。
(2) 2つの放物線で囲まれた図形の面積 SSaa を用いて表せ。
(3) SS の最大値と、そのときの aa の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つの放物線の交点を求める。x2+1=x2+2axa2+a+2x^2 + 1 = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 2 を解く。
2x22ax+a2a1=02x^2 - 2ax + a^2 - a - 1 = 0
この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 D>0D > 0 である。
D=(2a)242(a2a1)=4a28a2+8a+8=4a2+8a+8=4(a22a2)D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - a - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8a + 8 = -4a^2 + 8a + 8 = -4(a^2 - 2a - 2)
D>0D > 0 より、 4(a22a2)>0-4(a^2 - 2a - 2) > 0
a22a2<0a^2 - 2a - 2 < 0
a22a+1<3a^2 - 2a + 1 < 3
(a1)2<3(a - 1)^2 < 3
3<a1<3-\sqrt{3} < a - 1 < \sqrt{3}
13<a<1+31 - \sqrt{3} < a < 1 + \sqrt{3}
(2) 交点の xx 座標を α,β\alpha, \beta とする (α<β\alpha < \beta)。解と係数の関係より、α+β=a,αβ=a2a12\alpha + \beta = a, \alpha\beta = \frac{a^2-a-1}{2}
S=αβ(x2+2axa2+a+2(x2+1))dx=αβ(2x2+2axa2+a+1)dxS = \int_{\alpha}^{\beta} (-x^2 + 2ax - a^2 + a + 2 - (x^2 + 1)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 2ax - a^2 + a + 1) dx
=αβ2(x2ax+a24)+a22a2+a+1dx=αβ2(xa2)2a22+a+1dx= \int_{\alpha}^{\beta} -2(x^2 - ax + \frac{a^2}{4}) + \frac{a^2}{2} - a^2 + a + 1 dx = \int_{\alpha}^{\beta} -2(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + a + 1 dx
S=αβ2(x2ax+a2a12)dx=2αβ(xα)(xβ)dx=26(βα)3=13(βα)3S = \int_{\alpha}^{\beta} -2(x^2 - ax + \frac{a^2 - a - 1}{2})dx = -2\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)dx = \frac{2}{6} (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{3}(\beta - \alpha)^3
(βα)2=(α+β)24αβ=a24a2a12=a22(a2a1)=a2+2a+2(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = a^2 - 4\frac{a^2-a-1}{2} = a^2 - 2(a^2 - a - 1) = -a^2 + 2a + 2
βα=a2+2a+2\beta - \alpha = \sqrt{-a^2 + 2a + 2}
S=13(a2+2a+2)3/2S = \frac{1}{3}(-a^2 + 2a + 2)^{3/2}
(3) t=a2+2a+2=(a1)2+3t = -a^2 + 2a + 2 = -(a - 1)^2 + 3.
13<a<1+31 - \sqrt{3} < a < 1 + \sqrt{3} なので、(a1)2<3(a - 1)^2 < 3.
tta=1a = 1 で最大値 33 をとる。
S=13t3/2S = \frac{1}{3} t^{3/2} なので、tt が最大値をとるとき、SS も最大値をとる。
Smax=1333/2=1333=3S_{max} = \frac{1}{3} 3^{3/2} = \frac{1}{3} 3\sqrt{3} = \sqrt{3}
a=1a = 1 のとき、13<1<1+31 - \sqrt{3} < 1 < 1 + \sqrt{3} を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 13<a<1+31 - \sqrt{3} < a < 1 + \sqrt{3}
(2) S=13(a2+2a+2)3/2S = \frac{1}{3}(-a^2 + 2a + 2)^{3/2}
(3) SS の最大値は 3\sqrt{3} で、そのときの aa の値は 11

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