あみだくじによって定義される置換 $\sigma$ と $\delta$ について、それぞれの巡回置換表示と符号 $\epsilon(\sigma)$, $\epsilon(\delta)$ を求める。

1. 問題の内容

あみだくじによって定義される置換 $\sigma$ と $\delta$ について、それぞれの巡回置換表示と符号 $\epsilon(\sigma)$, $\epsilon(\delta)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず $\sigma$ について考える。

$\sigma(1) = 4$, $\sigma(4) = 1$ であることから、巡回置換 $(1\ 4)$ が現れる。

$\sigma(2) = 2$, $\sigma(3) = 3$ より、2と3は動かない。したがって $\sigma = (1\ 4)$ である。

$\sigma$ は長さ2の巡回置換なので、互換であり、$\epsilon(\sigma) = -1$ である。

次に $\delta$ について考える。

$\delta(1) = 1$ より、1は動かない。

$\delta(2) = 4$, $\delta(4) = 6$, $\delta(6) = 5$, $\delta(5) = 3$, $\delta(3) = 2$ であることから、巡回置換 $(2\ 4\ 6\ 5\ 3)$ が現れる。

したがって $\delta = (2\ 4\ 6\ 5\ 3)$ である。

$\delta$ は長さ5の巡回置換である。一般に、長さ $n$ の巡回置換は $n-1$ 個の互換の積で表される。

したがって、$\delta$ は $5-1 = 4$ 個の互換の積で表されるので、$\epsilon(\delta) = (-1)^4 = 1$ である。

3. 最終的な答え

$\sigma = (1\ 4)$, $\epsilon(\sigma) = -1$

$\delta = (2\ 4\ 6\ 5\ 3)$, $\epsilon(\delta) = 1$