区間 $-2 \le x \le 2$ において、関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ と $g(x) = -2x^2 - 4x + a$ が与えられている。すべての実数 $x_1, x_2$ (ただし $-2 \le x_1 \le 2$ かつ $-2 \le x_2 \le 2$) に対して、$f(x_1) > g(x_2)$ が成立するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

区間 $-2 \le x \le 2$ において、関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ と $g(x) = -2x^2 - 4x + a$ が与えられている。すべての実数 $x_1, x_2$ (ただし $-2 \le x_1 \le 2$ かつ $-2 \le x_2 \le 2$) に対して、$f(x_1) > g(x_2)$ が成立するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x_1) > g(x_2)$ が常に成り立つためには、$f(x)$ の最小値が $g(x)$ の最大値よりも大きければよい。

まず、$f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ の $-2 \le x \le 2$ における最小値を求める。

$f(x)$ は $x = 1$ で最小値 $f(1) = (1 - 1)^2 = 0$ をとる。

次に、$g(x) = -2x^2 - 4x + a = -2(x^2 + 2x) + a = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + a = -2(x + 1)^2 + 2 + a$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値を求める。

$g(x)$ は $x = -1$ で最大値 $g(-1) = -2(-1 + 1)^2 + 2 + a = 2 + a$ をとる。

したがって、$f(x_1) > g(x_2)$ が常に成り立つためには、

$f(x)$ の最小値 $> g(x)$ の最大値

である必要があり、

$0 > 2 + a$

となる。

3. 最終的な答え

$0 > 2 + a$ を解くと、

$a < -2$

したがって、求める $a$ の値の範囲は $a < -2$。

最終的な答え：$a < -2$