関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の逆関数を求めます。

$y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ を $x$ について解きます。

$y(x + 2) = ax + 1$

$yx + 2y = ax + 1$

$yx - ax = 1 - 2y$

$x(y - a) = 1 - 2y$

$x = \frac{1 - 2y}{y - a}$

逆関数は $x$ と $y$ を入れ替えて $y = \frac{1 - 2x}{x - a}$ となります。

問題文より、逆関数が元の関数と一致するので、次の式が成り立ちます。

$\frac{ax + 1}{x + 2} = \frac{1 - 2x}{x - a}$

両辺に $(x + 2)(x - a)$ を掛けて、

$(ax + 1)(x - a) = (1 - 2x)(x + 2)$

$ax^2 - a^2x + x - a = x + 2 - 2x^2 - 4x$

$ax^2 - a^2x + x - a = -2x^2 - 3x + 2$

この式が任意の $x$ に対して成り立つためには、$x^2$ の係数、$x$ の係数、定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

$x^2$ の係数: $a = -2$

$x$ の係数: $-a^2 + 1 = -3$

定数項: $-a = 2$

$a = -2$ を $-a^2 + 1 = -3$ に代入すると、$-(-2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$ となり、成り立つことが分かります。

また、$-a = 2$ も $a = -2$ より成り立ちます。

したがって、$a = -2$ です。

3. 最終的な答え

$a = -2$