$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

まず、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} + \frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}}$

次に、$\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$ および $\frac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}$ を使って式を変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} + \frac{\sin x}{x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$

ここで、$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ および $2x \to 0$ であることを利用すると、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ が成り立ちます。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} + \frac{\sin x}{x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}} = \frac{3 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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