関数 $y = \frac{e^x}{x^2}$ を微分して $y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{x^2}$ を微分して $y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使う。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ に対して、

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

である。

この問題では、$u(x) = e^x$ かつ $v(x) = x^2$ である。

$u'(x) = e^x$

$v'(x) = 2x$

商の微分公式に代入すると、

$y' = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{(x^2)^2}$

$y' = \frac{x^2 e^x - 2x e^x}{x^4}$

$y' = \frac{x e^x(x - 2)}{x^4}$

$y' = \frac{(x - 2)e^x}{x^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{(x - 2)e^x}{x^3}$