関数 $y = xe^{-2x}$ を微分し、選択肢の中から正しい導関数を選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ を微分し、選択肢の中から正しい導関数を選ぶ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x$ と $v = e^{-2x}$ とおく。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(e^{-2x}) = -2e^{-2x}$ （合成関数の微分）

したがって、

$y' = (xe^{-2x})' = x'e^{-2x} + x(e^{-2x})' = 1 \cdot e^{-2x} + x(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1 - 2x)e^{-2x}$

3. 最終的な答え

$y' = (1-2x)e^{-2x}$

選択肢2が正しい。