関数 $y = xe^{2x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は $x$ と $e^{2x}$ の積で表されているため、積の微分公式を利用します。積の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

です。

この問題では、$u(x) = x$ と $v(x) = e^{2x}$ とします。

まず、$u(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v(x)$ の微分を計算します。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$

積の微分公式に当てはめると、

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x} + 2xe^{2x}$

$e^{2x}$ で括ると、

$\frac{dy}{dx} = e^{2x}(1 + 2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (2x+1)e^{2x}$