$a>0$ かつ $a \neq 1$ である定数 $a$ に対して、関数 $y = (x^2+1)a^x$ の導関数 $y'$ を求める。

1. 問題の内容

$a>0$ かつ $a \neq 1$ である定数 $a$ に対して、関数 $y = (x^2+1)a^x$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分法と指数関数の微分法を用いる。

$y = f(x)g(x)$ のとき $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。

この問題では、$f(x) = x^2 + 1$、$g(x) = a^x$ とおく。

すると、$f'(x) = 2x$、$g'(x) = a^x \log a$ である。

したがって、

$y' = 2x \cdot a^x + (x^2+1) \cdot a^x \log a$

$= a^x (2x + (x^2+1)\log a)$

$= a^x ((x^2+1)\log a + 2x)$

3. 最終的な答え

$y' = a^x\{(x^2+1)\log a + 2x\}$

よって、選択肢 5 が正しい。