$y = \tan^2 x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \tan^2 x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行います。

$y = (\tan x)^2$ と見なして、

$u = \tan x$ と置くと、$y = u^2$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \sec^2 x = 2 \tan x \cdot \sec^2 x$

$= 2 \tan x (1 + \tan^2 x) = 2 \tan x + 2 \tan^3 x$

ただし、選択肢には当てはまるものがないようです。

選択肢のどちらも正しい微分ではありません。問題に誤りがあるか、選択肢が間違っている可能性があります。

もし選択肢に、$y' = 2\tan x \sec^2 x$　があればそれが正解です。

もしくは、$y' = 2\tan x + 2 \tan^3 x$も正解です。

3. 最終的な答え

$y' = 2\tan x \sec^2 x = 2\tan x (1 + \tan^2 x) = 2\tan x + 2 \tan^3 x$

(ただし、与えられた選択肢には正解はありません。)