関数 $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ について、$x = -1$ における法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ について、$x = -1$ における法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ の導関数 $y'$ を求めます。

$$y' = x^2 - x + 2$$

(2) $x = -1$ における接線の傾き $m$ を求めます。

$y'$ に $x = -1$ を代入します。

$$m = (-1)^2 - (-1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4$$

(3) $x = -1$ における法線の傾き $n$ を求めます。

法線は接線に垂直なので、$m \times n = -1$ となります。

$$n = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{4}$$

(4) $x = -1$ における $y$ の値を求めます。

$y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ に $x = -1$ を代入します。

$$y = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 2 + 1 = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} - 1 = -\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6}$$

よって、$x = -1$ のとき $y = -\frac{11}{6}$ です。接点は $(-1, -\frac{11}{6})$ となります。

(5) 法線の方程式を求めます。

法線は傾き $n = -\frac{1}{4}$ で、点 $(-1, -\frac{11}{6})$ を通るので、法線の方程式は次のようになります。

$$y - (-\frac{11}{6}) = -\frac{1}{4}(x - (-1))$$

$$y + \frac{11}{6} = -\frac{1}{4}(x + 1)$$

$$y = -\frac{1}{4}x - \frac{1}{4} - \frac{11}{6}$$

$$y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{12} - \frac{22}{12}$$

$$y = -\frac{1}{4}x - \frac{25}{12}$$

3. 最終的な答え

法線の方程式は $y = -\frac{1}{4}x - \frac{25}{12}$ です。