曲線 $y = 3x^2 + 2$ 上の点 $(1, 5)$ における法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = 3x^2 + 2$ 上の点 $(1, 5)$ における法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求める。

与えられた関数 $y = 3x^2 + 2$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$$y' = \frac{dy}{dx} = 6x$$

ステップ2: 点 $(1, 5)$ における接線の傾きを求める。

導関数 $y' = 6x$ に $x = 1$ を代入して、点 $(1, 5)$ における接線の傾き $m_t$ を求めます。

$$m_t = 6(1) = 6$$

ステップ3: 点 $(1, 5)$ における法線の傾きを求める。

法線は接線に垂直なので、法線の傾き $m_n$ は接線の傾き $m_t$ の逆数の負の値になります。

$$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{6}$$

ステップ4: 法線の方程式を求める。

点 $(1, 5)$ を通り、傾きが $m_n = -\frac{1}{6}$ の直線の方程式を求めます。点傾斜形の公式を使います。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ここに、$(x_1, y_1) = (1, 5)$、 $m = -\frac{1}{6}$ を代入すると、

$$y - 5 = -\frac{1}{6}(x - 1)$$

ステップ5: 法線の方程式を整理する。

上記の方程式を整理して、一般形または $y = ax + b$ の形にします。

$$y - 5 = -\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}$$

$$y = -\frac{1}{6}x + \frac{1}{6} + 5$$

$$y = -\frac{1}{6}x + \frac{1}{6} + \frac{30}{6}$$

$$y = -\frac{1}{6}x + \frac{31}{6}$$

3. 最終的な答え

点 $(1, 5)$ における法線の方程式は $y = -\frac{1}{6}x + \frac{31}{6}$ です。