関数 $y = x^2 - 5x + 1$ について、点 $(3, -5)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 5x + 1$ について、点 $(3, -5)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 微分を計算する。

与えられた関数 $y = x^2 - 5x + 1$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 2x - 5$

ステップ2: 接線の傾きを求める。

点 $(3, -5)$ における接線の傾きは、導関数 $y'$ に $x = 3$ を代入して求めます。

$m = y'(3) = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$

ステップ3: 接線の方程式を求める。

点 $(3, -5)$ を通り、傾きが $1$ の直線の方程式は、点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて求めます。ここで、$(x_1, y_1) = (3, -5)$ であり、$m = 1$ です。

$y - (-5) = 1(x - 3)$

$y + 5 = x - 3$

$y = x - 3 - 5$

$y = x - 8$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = x - 8$ です。