関数 $y = 3x^2 - 2x$ について、$x=2$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 2x$ について、$x=2$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y = 3x^2 - 2x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 6x - 2$

となります。

(2) 次に、$x=2$ における傾きを求めます。これは、導関数に $x=2$ を代入することで得られます。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=2} = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10$

したがって、$x=2$ における接線の傾きは $10$ です。

(3) $x=2$ における $y$ の値を求めます。

$y(2) = 3(2)^2 - 2(2) = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

したがって、接点は $(2, 8)$ です。

(4) 接線の公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて、接線の方程式を求めます。ここで、$m$ は傾き、$x_1$ と $y_1$ は接点の座標です。

$y - 8 = 10(x - 2)$

$y - 8 = 10x - 20$

$y = 10x - 12$

3. 最終的な答え

$y = 10x - 12$