$\log_4 6$, $\log_8 9$, $\log_9 8$ を小さい順に並べます。

1. 問題の内容

$\log_4 6$, $\log_8 9$, $\log_9 8$ を小さい順に並べます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数を底を2とする対数に変換します。

$\log_4 6 = \frac{\log_2 6}{\log_2 4} = \frac{\log_2 6}{2} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3)}{2} = \frac{\log_2 2 + \log_2 3}{2} = \frac{1 + \log_2 3}{2}$

$\log_8 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 8} = \frac{\log_2 3^2}{3} = \frac{2 \log_2 3}{3}$

$\log_9 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 9} = \frac{3}{\log_2 3^2} = \frac{3}{2 \log_2 3}$

ここで、$x = \log_2 3$ とおくと、

$\log_4 6 = \frac{1+x}{2}$

$\log_8 9 = \frac{2x}{3}$

$\log_9 8 = \frac{3}{2x}$

$x = \log_2 3$ なので、$1 < x < 2$ であることがわかります（なぜなら $2 < 3 < 4$ であり、$2^1 < 3 < 2^2$）。

$\log_4 6 = \frac{1+x}{2} > \frac{1+1}{2} = 1$

$\log_4 6 = \frac{1+x}{2} < \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$\log_8 9 = \frac{2x}{3} > \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$

$\log_8 9 = \frac{2x}{3} < \frac{2(2)}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

$\log_9 8 = \frac{3}{2x} > \frac{3}{2(2)} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\log_9 8 = \frac{3}{2x} < \frac{3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x = \log_2 3 \approx 1.585$ なので

$\log_4 6 = \frac{1+1.585}{2} \approx 1.293$

$\log_8 9 = \frac{2(1.585)}{3} \approx 1.057$

$\log_9 8 = \frac{3}{2(1.585)} \approx 0.946$

よって、$\log_9 8 < \log_8 9 < \log_4 6$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_9 8$, $\log_8 9$, $\log_4 6$