$1/(2 - \sqrt{3})$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a + 2b + b^2 + 1$

1. 問題の内容

$1/(2 - \sqrt{3})$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a + 2b + b^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) まず、$1/(2 - \sqrt{3})$ を有理化する。

$1/(2 - \sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})/((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})) = (2 + \sqrt{3})/(4 - 3) = 2 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値を考える。$1 < \sqrt{3} < 2$ であり、$1.7^2 = 2.89$, $1.8^2 = 3.24$ なので、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ である。したがって、$2 + 1.7 < 2 + \sqrt{3} < 2 + 1.8$, すなわち、$3.7 < 2 + \sqrt{3} < 3.8$ である。

よって、$2 + \sqrt{3}$ の整数部分は 3 である。

したがって、$a = 3$

(2) 小数部分 $b$ は、$b = (2 + \sqrt{3}) - a = (2 + \sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$

(3) $a + 2b + b^2 + 1$ の値を求める。

$a + 2b + b^2 + 1 = 3 + 2(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} - 1)^2 + 1 = 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1 = 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$

(3) $a + 2b + b^2 + 1 = 6$