台形ABCDにおいて、点PがBを出発し、BC, CD上を毎秒2cmで動く。点Pが出発してからx秒後に線分APが通った部分の面積を$y cm^2$とする。 (1) 点Pが辺BC上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。 (2) 点Pが辺CD上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、点PがBを出発し、BC, CD上を毎秒2cmで動く。点Pが出発してからx秒後に線分APが通った部分の面積を$y cm^2$とする。

(1) 点Pが辺BC上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。

(2) 点Pが辺CD上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺BC上にあるとき

点PがBを出発してからx秒後のBPの長さは$2x$ cmである。

三角形ABPの面積は、$y = \frac{1}{2} \times BP \times AB$。

ABは台形の図より、高さであり、$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ cm

$y = \frac{1}{2} \times 2x \times 8 = 8x$

点PがCに到達するまでの時間は、BCの長さが10cmで、速さが毎秒2cmなので、

$x = \frac{10}{2} = 5$秒。

したがって、$x$の変域は$0 \le x \le 5$。

(2) 点Pが辺CD上にあるとき

点PがCを出発してからx秒後のCPの長さは$2(x-5)$ cmである。

台形ABCDの面積は、$\frac{1}{2} (AD + BC) \times AB = \frac{1}{2} (5 + 10) \times 8 = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60$。

三角形ADPの面積は、$\frac{1}{2} \times AD \times DP = \frac{1}{2} \times 5 \times (6 - 2(x-5)) = \frac{5}{2}(6 - 2x + 10) = \frac{5}{2}(16 - 2x) = 5(8-x) = 40 - 5x$

$y = 台形ABCDの面積 - 三角形ADPの面積 = 60 - (40 - 5x) = 60 - 40 + 5x = 20 + 5x$

点PがDに到達するまでの時間は、CDの長さが6cmで、速さが毎秒2cmなので、

Cを出発してから$\frac{6}{2} = 3$秒後にDに到達する。

したがって、Bを出発してからは$5 + 3 = 8$秒後にDに到達する。

$x$の変域は、$5 < x \le 8$。

3. 最終的な答え

(1) 辺BC上:

$y = 8x$

$0 \le x \le 5$

(2) 辺CD上:

$y = 5x + 20$

$5 < x \le 8$