台形ABCDにおいて、点Pが点Bを出発して毎秒2cmの速さで辺BC, CD上を点Dまで動く。点Pが点Bを出発してからx秒後までに線分APが通った部分の面積をy cm²とする。 (1) 点Pが辺BC上にあるときと、辺CD上にあるとき、それぞれyを表す式とxの変域を求める。 (2) 点Pが点Bから点Dまで動くときのxとyの関係を表すグラフをかく。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、点Pが点Bを出発して毎秒2cmの速さで辺BC, CD上を点Dまで動く。点Pが点Bを出発してからx秒後までに線分APが通った部分の面積をy cm²とする。

(1) 点Pが辺BC上にあるときと、辺CD上にあるとき、それぞれyを表す式とxの変域を求める。

(2) 点Pが点Bから点Dまで動くときのxとyの関係を表すグラフをかく。

2. 解き方の手順

(1) ① 辺BC上

点Pが辺BC上にあるとき、x秒後のBPの長さは $2x$ cmとなる。

このとき、線分APが通った部分は三角形ABPであるから、その面積yは、

$y = \frac{1}{2} \times 2x \times 6 = 6x$

辺BCの長さは10cmなので、点Pが点Cに到着するまでの時間は $10/2 = 5$ 秒である。

よって、$x$ の変域は $0 \le x \le 5$となる。

(1) ② 辺CD上

点Pが辺CD上にあるとき、点Pは点Cから動く。点Pが点Bを出発してからの時間を $x$ 秒とすると、点Pが点Cに到着するのは5秒後である。また、辺CDの長さは5cmなので、点Pが点Dに到着するのは $5 + 5/2 = 7.5$ 秒後である。

線分APが通った部分は台形ABCDから三角形APDを除いた部分である。台形ABCDの面積は、

$\frac{1}{2} \times (10 + 5) \times 6 = 45$ cm²

三角形APDの面積は、

$\frac{1}{2} \times 5 \times \{6 - 2(x - 5)\} = \frac{5}{2}(16 - 2x) = 40 - 5x$

よって、$y = 45 - (40 - 5x) = 5x + 5$

$x$ の変域は $5 \le x \le 7.5$となる。

(2) グラフをかく。

$0 \le x \le 5$ のとき、$y = 6x$である。

$x=0$ のとき、$y=0$。

$x=5$ のとき、$y=30$。

よって、点(0,0)と点(5,30)を結ぶ直線を書く。

$5 \le x \le 7.5$ のとき、$y = 5x + 5$である。

$x=5$ のとき、$y=30$。

$x=7.5$ のとき、$y = 5 \times 7.5 + 5 = 37.5 + 5 = 42.5$。

よって、点(5,30)と点(7.5,42.5)を結ぶ直線を書く。

3. 最終的な答え

(1) ① 辺BC上：$y = 6x$、$0 \le x \le 5$

(1) ② 辺CD上：$y = 5x + 5$、$5 \le x \le 7.5$

(2) グラフは上記のとおり。