与えられた3つの行列について、それぞれ固有値と固有ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、それぞれ固有値と固有ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$

* 固有方程式を立てる:

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -3-\lambda & 1 \\ 5 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (-3-\lambda)(1-\lambda) - (1)(5) = 0$

* 固有方程式を解く:

$\lambda^2 + 2\lambda - 8 = 0$

$(\lambda + 4)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -4$ と $\lambda_2 = 2$ です。

* 各固有値に対応する固有ベクトルを求める:

* $\lambda_1 = -4$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。したがって、固有ベクトルは $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （$c_1$ は任意のスカラー）

* $\lambda_2 = 2$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x + y = 0$ より、$y = 5x$。したがって、固有ベクトルは $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ （$c_2$ は任意のスカラー）

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

* 固有方程式を立てる:

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 4 \\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - (4)(2) = 0$

* 固有方程式を解く:

$\lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0$

$(\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 5$ と $\lambda_2 = -1$ です。

* 各固有値に対応する固有ベクトルを求める:

* $\lambda_1 = 5$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 4y = 0$ より、$x = 2y$。したがって、固有ベクトルは $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ （$c_1$ は任意のスカラー）

* $\lambda_2 = -1$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x + 4y = 0$ より、$y = -x$。したがって、固有ベクトルは $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （$c_2$ は任意のスカラー）

(3) 行列 $\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

* 固有方程式を立てる:

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -3-\lambda & -1 \\ 1 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (-3-\lambda)(-1-\lambda) - (-1)(1) = 0$

* 固有方程式を解く:

$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$

$(\lambda + 2)^2 = 0$

したがって、固有値は $\lambda = -2$ （重根）です。

* 固有値に対応する固有ベクトルを求める:

$(A - \lambda I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x - y = 0$ より、$y = -x$。したがって、固有ベクトルは $v = c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （$c$ は任意のスカラー）

3. 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda_1 = -4$, $\lambda_2 = 2$

固有ベクトル: $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

(2) 固有値: $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル: $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3) 固有値: $\lambda = -2$

固有ベクトル: $v = c\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$