行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ について、$A^n$ を求める問題です ($n = 1, 2, ...$).

## 問題6

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ について、$A^n$ を求める問題です ($n = 1, 2, ...$).

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は、

$det(A - \lambda I) = 0$

つまり、

$\begin{vmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 4$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = 4$ のとき、

$(A - 4I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 3y = 0$ より、 $x = \frac{3}{2}y$。よって、固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ が得られます。

* $\lambda_2 = -1$ のとき、

$(A + I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 3y = 0$ より、 $x = -y$。よって、固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ が得られます。

固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作ります：

$P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

このとき、$P^{-1}AP = D$ は対角行列となり、$D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ です。

$A = PDP^{-1}$ であるから、$A^n = PD^nP^{-1}$ となります。

$P^{-1}$ を計算します。

$P^{-1} = \frac{1}{det(P)} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

したがって、

$A^n = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \cdot 4^n & (-1)^n \\ 2 \cdot 4^n & -(-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \cdot 4^n + 2(-1)^n & 3 \cdot 4^n - 3(-1)^n \\ 2 \cdot 4^n - 2(-1)^n & 2 \cdot 4^n + 3(-1)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \cdot 4^n + 2(-1)^n & 3 \cdot 4^n - 3(-1)^n \\ 2 \cdot 4^n - 2(-1)^n & 2 \cdot 4^n + 3(-1)^n \end{pmatrix}$