(1) $y$が$x$に反比例し、$x=3$のとき$y=8$である。$y=6$のときの$x$の値を求めよ。 (2) 1次関数$y=ax+b$ ($a>0$)は、$x$の変域が$1 \le x \le 4$のとき、$y$の変域が$-2 \le y \le 7$である。$a, b$の値を求めよ。 (3) 3点A$(-3, 5)$, B$(1, a-4)$, C$(9, 8-3a)$が一直線上にあるとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $y$が$x$に反比例し、$x=3$のとき$y=8$である。$y=6$のときの$x$の値を求めよ。

(2) 1次関数$y=ax+b$ ($a>0$)は、$x$の変域が$1 \le x \le 4$のとき、$y$の変域が$-2 \le y \le 7$である。$a, b$の値を求めよ。

(3) 3点A$(-3, 5)$, B$(1, a-4)$, C$(9, 8-3a)$が一直線上にあるとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y$が$x$に反比例するので、$y = \frac{k}{x}$とおける。$x=3$のとき$y=8$だから、$8 = \frac{k}{3}$より、$k = 24$。よって、$y = \frac{24}{x}$。

$y=6$のとき、$6 = \frac{24}{x}$より、$x = \frac{24}{6} = 4$。

(2) 1次関数$y=ax+b$において、$a>0$なので、$x$が増加すると$y$も増加する。したがって、$x=1$のとき$y=-2$、$x=4$のとき$y=7$となる。

これらを代入して、

$-2 = a + b$

$7 = 4a + b$

この連立方程式を解く。

$7 - (-2) = 4a - a$

$9 = 3a$

$a = 3$

$-2 = 3 + b$

$b = -5$

よって、$a=3$, $b=-5$。

(3) 3点A$(-3, 5)$, B$(1, a-4)$, C$(9, 8-3a)$が一直線上にあるとき、ABの傾きとBCの傾きは等しくなる。

ABの傾きは$\frac{(a-4) - 5}{1 - (-3)} = \frac{a - 9}{4}$

BCの傾きは$\frac{(8-3a) - (a-4)}{9 - 1} = \frac{12 - 4a}{8} = \frac{3 - a}{2}$

$\frac{a - 9}{4} = \frac{3 - a}{2}$

$a - 9 = 2(3 - a) = 6 - 2a$

$3a = 15$

$a = 5$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $a=3$, $b=-5$

(3) $a=5$