与えられた4つの行列が対角化可能かどうかを判定し、対角化可能な場合は対角化行列を求め、対角化せよ。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列が対角化可能かどうかを判定し、対角化可能な場合は対角化行列を求め、対角化せよ。

2. 解き方の手順

行列が対角化可能かどうかを判定するには、以下の手順を踏みます。

1. 固有値を求める：特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求めます。ここで $A$ は与えられた行列、$I$ は単位行列です。

2. 固有ベクトルを求める：各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求めます。

3. 対角化可能性の判定：

* $n \times n$ 行列 $A$ が $n$ 個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合、行列 $A$ は対角化可能です。

* 特に、$n \times n$ 行列 $A$ が $n$ 個の異なる固有値を持つ場合、行列 $A$ は対角化可能です。

4. 対角化行列の構成：

* $P$：固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列。

* $D$：対角成分に固有値を並べた対角行列。

* このとき、$P^{-1}AP = D$ となり、$A$ は $D$ に対角化されます。

以下、各行列について計算を行います。

(1) $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 固有値：$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 4 \\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - 8 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0$ より、$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1$.

2. 固有ベクトル：

* $\lambda_1 = 5$: $(A - 5I)v = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}v = 0$ より、$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* $\lambda_2 = -1$: $(A + I)v = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}v = 0$ より、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

3. 対角化：$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

(2) $A = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

1. 固有値：$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -3-\lambda & -1 \\ 1 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (-3-\lambda)(-1-\lambda) + 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 = (\lambda + 2)^2 = 0$ より、$\lambda = -2$ (重解).

2. 固有ベクトル：$(A + 2I)v = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}v = 0$ より、$v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

3. 対角化可能性：固有値が重解で、対応する固有ベクトルが1つしか存在しないため、対角化不可能。

(3) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

1. 固有値：$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)^3 = 0$ より、$\lambda = 3$ (三重解).

2. 固有ベクトル：$(A - 3I)v = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0$ より、$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が線形独立な固有ベクトルとして得られます。したがって、固有ベクトルが3つ線形独立で得られないため対角化不可能。

(4) $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

1. 固有値：$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)((3-\lambda)(2-\lambda)-2) - 2(2-\lambda-1) + (2-(3-\lambda)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 5\lambda + 4) - 2(1-\lambda) + (\lambda-1) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4) + 3(\lambda-1) = (\lambda-1)((2-\lambda)(\lambda-4) + 3) = (\lambda-1)(-\lambda^2 + 6\lambda - 5) = -(\lambda-1)^2(\lambda-5)=0$ より、$\lambda_1 = 1$ (重解), $\lambda_2 = 5$.

2. 固有ベクトル：

* $\lambda_1 = 1$: $(A - I)v = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}v = 0$ より、$v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* $\lambda_2 = 5$: $(A - 5I)v = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}v = 0$. Row reducing gives $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}v = 0$. So $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

3. 対角化：$P = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

(1) 対角化可能。 $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

(2) 対角化不可能。

(3) 対角化不可能。

(4) 対角化可能。 $P = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$.