長方形ABCDがあり、点Mは辺ADの中点である。点PはAを出発し、辺上をB, Cを通ってDまで秒速1cmで動く。点Pが動き始めてからx秒後における線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積を $y$ cm$^2$とする。ただし、点PがAにあるときは $y=0$, 点PがDと重なるときは $y=40$ とする。 (1) 3秒後の $y$ の値を求めよ。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表せ。 (3) $x$ と $y$ の関係を表すグラフとして最も適するものをア〜エから1つ選べ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Mは辺ADの中点である。点PはAを出発し、辺上をB, Cを通ってDまで秒速1cmで動く。点Pが動き始めてからx秒後における線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積を $y$ cm$^2$とする。ただし、点PがAにあるときは $y=0$, 点PがDと重なるときは $y=40$ とする。

(1) 3秒後の $y$ の値を求めよ。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

(3) $x$ と $y$ の関係を表すグラフとして最も適するものをア〜エから1つ選べ。

2. 解き方の手順

(1)

点PがAからBまで移動するのにかかる時間は、$AB = 5$ cmなので5秒である。3秒後は点PはAB上にあり、$AP = 3$ cmである。

求める面積は、三角形APMの面積である。AMの長さは、ADの半分なので、$AM = 8/2 = 4$ cmである。

三角形APMの面積は、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AM = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

(2)

点PがBC上を動くとき、$5 \le x \le 13$である。

点PがBからCまで移動するのにかかる時間は、$BC = 8$ cmなので8秒である。

点PがBC上にあるとき、台形APMDの面積が $y$ となる。APMDの面積は、長方形ABCDの面積から三角形PCDの面積を引いたものとなる。

長方形ABCDの面積は、$5 \times 8 = 40$ cm$^2$

三角形PCDの面積は、$\frac{1}{2} \times CD \times (AD - AP) = \frac{1}{2} \times 8 \times (5 - (x - 5)) = 4(10 - x)$

よって、$y = 40 - 4(10 - x) = 40 - 40 + 4x = 4x$

しかし、これは正しくない。

点PがBC上にあるとき、点PからADへの垂線の足をHとすると、

$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{5^2 + (x-5)^2}$ となり、計算が複雑になるため、この方法ではうまくいかない。

代わりに、台形APMDの面積を直接求める。

$AP = x-5$ であるので、

$y = \frac{1}{2}(AP + MD) \times AD = \frac{1}{2}(x-5 + 4) \times 5 = \frac{5}{2}(x-1) = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}$

しかし、これも正しくない。

点PがBC上にいるとき、三角形APMの面積ではなく、長方形ABCDから三角形MBPと三角形PCDの面積を引いたものとなる。

$y = \text{長方形ABCD} - \text{三角形MBP} - \text{三角形PCD}$

$y = 40 - \frac{1}{2} \times (8 - 4) \times (x-5) - \frac{1}{2} \times 8 \times (13-x)$

$y = 40 - 2(x-5) - 4(13-x)$

$y = 40 - 2x + 10 - 52 + 4x$

$y = 2x - 2$

(3)

$0 \le x \le 5$ のとき、$y = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

$5 \le x \le 13$ のとき、$y = 2x - 2$

$13 \le x \le 18$ のとき、$y = 40 - \frac{1}{2} \times (18 - x) \times 4 = 40 - 2(18 - x) = 40 - 36 + 2x = 2x + 4$

$x=5$ のとき、$y = 2 \times 5 = 10$

$x=13$ のとき、$y = 2 \times 13 - 2 = 24$

$x=13$ のとき、$y = 2 \times 13 + 4 = 30$

グラフはイ

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $y = 2x - 2$

(3) イ