長方形ABCDがあり、点MはADの中点である。点PはAを出発し、辺上をB, Cを通ってDまで秒速1cmで動く。点Pが動き始めてからx秒後における線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積を$y cm^2$とする。ただし、点PがAにあるときは$y=0$、点PがDと重なるときは$y=40$とする。 (1) 3秒後の$y$の値を求めよ。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$をxの式で表せ。 (3) xとyの関係を表すグラフとして最も適するものをア～エから1つ選べ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点MはADの中点である。点PはAを出発し、辺上をB, Cを通ってDまで秒速1cmで動く。点Pが動き始めてからx秒後における線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分の面積を$y cm^2$とする。ただし、点PがAにあるときは$y=0$、点PがDと重なるときは$y=40$とする。

(1) 3秒後の$y$の値を求めよ。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$をxの式で表せ。

(3) xとyの関係を表すグラフとして最も適するものをア～エから1つ選べ。

2. 解き方の手順

(1) 3秒後のyの値を求める。

点Pは秒速1cmで動くので、3秒後にはAから3cmの位置にいる。このとき、点PはAB上にあり、AP = 3cmとなる。

線分PMと長方形ABCDの辺で囲まれた図形のうち、点Aを含む部分は三角形APMである。

AM = AD/2 = 5cm/2 = 2.5cm

したがって、三角形APMの面積は、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AM = \frac{1}{2} \times 3 \times 2.5 = 3.75$

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$をxの式で表す。

点PがBC上を動くのは、AB = 5cm進んだ後なので、5秒後からである。

BCの長さは8cmなので、点PがBC上を動くのは、5秒後から13秒後までである。

点PがBC上にあるとき、AP = x cm

AP = AB + BP = 5 + BP

BP = x - 5

点MからBCに垂線を下ろし、その交点をHとすると、MH = AB = 5

また、長方形の面積から三角形CPMの面積を引いたものがyとなる。

CPMは直角三角形で、CP = BC - BP = 8 - (x - 5) = 13 - x, MH = 5

長方形ABCDの面積は、AD * AB = 5 * 8 = 40

三角形CPMの面積は、

$\frac{1}{2} \times CP \times MH = \frac{1}{2} \times (13 - x) \times 5 = \frac{5}{2} (13 - x)$

したがって、y = 長方形の面積 - 三角形CPMの面積 = $5x - \frac{25}{2}$

$y = 5x - \frac{25}{2}$

(3) xとyの関係を表すグラフとして最も適するものをア～エから1つ選ぶ。

AからBまで動く間(0<=x<=5)、yは$y = \frac{5}{4} x$ で増加する。

BからCまで動く間(5<x<=13)、yは$y = 5x - \frac{25}{2}$で増加する。

CからDまで動く間(13<x<=18)、y=40となる。

グラフはイとなる。

3. 最終的な答え

(1) 3.75

(2) $y = 5x - \frac{25}{2}$

(3) イ